If a cube is painted on all its sides and divided into 64 small cubes, how many of the small cubes will have 3 sides painted?

যখন একটি বড় ঘনক (cube) কে তার সকল পাশে রং করা হয় এবং ছোট ছোট ঘনকে ভাগ করা হয়, তখন ছোট ঘনকগুলির কতগুলো দিক রং করা হবে তা নির্ভর করে ঘনকটির অবস্থানে।

বিস্তারিত সমাধান:

১. প্রথমে, বড় ঘনকটিকে প্রতি পাশে কয়টি ছোট ঘনকে ভাগ করা হয়েছে তা নির্ণয় করতে হবে।

মোট ছোট ঘনকের সংখ্যা \( = 64 \)

ধরি, প্রতিটি পাশে ছোট ঘনকের সংখ্যা \( = n \)

তাহলে, \( n^3 = 64 \)

এই সমীকরণ থেকে, \( n = \sqrt[3]{64} \)

সুতরাং, \( n = 4 \)

এর অর্থ হল, বড় ঘনকটিকে প্রতিটি পাশে ৪টি করে ছোট ঘনকে ভাগ করা হয়েছে (অর্থাৎ, এটি একটি \( 4 \times 4 \times 4 \) আকারের ঘনক)।

২. এখন, ৩ দিক রং করা ছোট ঘনকগুলো সনাক্ত করতে হবে।

যেসব ছোট ঘনকের ৩টি দিক রং করা থাকে, সেগুলো হলো বড় ঘনকের কোণার দিকের ঘনকগুলি (corner cubes)। একটি ঘনকের সবসময় ৮টি কোণা থাকে, এবং প্রতিটি কোণার ঘনকের ৩টি দিক উন্মুক্ত থাকে এবং সেগুলিতে রং করা হয়।

৩. যেহেতু একটি ঘনকের মোট ৮টি কোণা থাকে, তাই ৮টি ছোট ঘনকের ৩টি দিক রং করা থাকবে। এই সংখ্যাটি ঘনককে কতগুলো ছোট ঘনকে ভাগ করা হয়েছে তার উপর নির্ভর করে না, যতক্ষণ না \( n \ge 2 \) (অর্থাৎ, কমপক্ষে \( 2 \times 2 \times 2 \) ঘনক)।

সুতরাং, মোট ৮টি ছোট ঘনকের ৩টি দিক রং করা থাকবে।

একটি ঘনক যখন সব দিক থেকে রং করা হয় এবং ছোট ছোট ঘনকে ভাগ করা হয়, তখন যেসব ছোট ঘনকের ৩টি দিক রং করা হয়, সেগুলো সর্বদা মূল ঘনকের কোণার দিকের ঘনক (corner cubes) হয়। একটি আদর্শ ঘনকের সবসময় ৮টি কোণা থাকে। তাই, ছোট ঘনকের সংখ্যা যাই হোক না কেন (যদি \( n \geq 2 \) হয়), ৩ দিক রং করা ছোট ঘনকের সংখ্যা সর্বদা ৮টি হবে।